Para datos agrupados y no agrupados: cuartiles y percentiles
Hola, en este blog tratare de explicarles breve mente como calcular las medidas de posición espero les agrade
Comenzamos...
Los cuantiles son medidas de posición que se determinan mediante un método que determina la ubicación de los valores que dividen un conjunto de observaciones en partes iguales.
Los cuantiles son los valores de la distribución que la dividen en partes iguales, es decir, en intervalos que comprenden el mismo número de valores. Cuando la distribución contiene un número alto de intervalos o de marcas y se requiere obtener un promedio de una parte de ella, se puede dividir la distribución en cuatro, en diez o en cien partes.
LOS MAS USADOS
Los más usados son los cuartiles, cuando dividen la distribución en cuatro partes; los deciles, cuando dividen la distribución en diez partes y los centiles o percentiles, cuando dividen la distribución en cien partes. Los cuartiles, como los deciles y los percentiles, son en cierta forma una extensión de la mediana.
Para algunos valores u , se dan nombres particulares a los cuantiles, Q (u):
CUARTILES
Los cuartiles son los tres valores que dividen al conjunto de datos ordenados en cuatro partes porcentualmente iguales.
Hay tres cuartiles denotados usualmente Q1, Q2, Q3. El segundo cuartil es precisamente la mediana. El primer cuartil, es el valor en el cual o por debajo del cual queda un cuarto (25%) de todos los valores de la sucesión (ordenada); el tercer cuartil, es el valor en el cual o por debajo del cual quedan las tres cuartas partes (75%) de los datos.
Datos agrupados
Como los cuartiles adquieren su mayor importancia cuando contamos un número grande de datos y tenemos en cuenta que en estos casos generalmente los datos son resumidos en una tabla de frecuencia. La fórmula para el cálculo de los cuartiles cuando se trata de datos agrupados es la siguiente:
k= 1,2,3
Donde:
Lk = Límite real inferior de la clase del cuartil k
n = Número de datos
Fk = Frecuencia acumulada de la clase que antecede a la clase del cuartil k.
fk = Frecuencia de la clase del cuartil k
c = Longitud del intervalo de la clase del cuartil k
Si se desea calcular cada cuartil individualmente, mediante otra fórmula se tiene lo siguiente:
El primer cuartil Q1, es el menor valor que es mayor que una cuarta parte de los datos; es decir, aquel valor de la variable que supera 25% de las observaciones y es superado por el 75% de las observaciones.
Fórmula de Q1, para series de Datos agrupados:
Donde:
L1 = limite inferior de la clase que lo contiene
P = valor que representa la posición de la medida
f1 = la frecuencia de la clase que contiene la medida solicitada.
Fa-1 = frecuencia acumulada anterior a la que contiene la medida solicitada.
Ic = intervalo de clase
El segundo cuartil Q2, (coincide, es idéntico o similar a la mediana, Q2 = Md), es el menor valor que es mayor que la mitad de los datos, es decir el 50% de las observaciones son mayores que la mediana y el 50% son menores.
Fórmula de Q2, para series de Datos agrupados:
Donde:
L1 = limite inferior de la clase que lo contiene
P = valor que representa la posición de la medida
f1 = la frecuencia de la clase que contiene la medida solicitada.
Fa-1 = frecuencia acumulada anterior a la que contiene la medida solicitada.
Ic = intervalo de clase
El tercer cuartil Q3, es el menor valor que es mayor que tres cuartas partes de los datos, es decir aquel valor de la variable que supera al 75% y es superado por el 25% de las observaciones.
Fórmula de Q3, para series de Datos agrupados:
Donde:
L1 = limite inferior de la clase que lo contiene
P = valor que representa la posición de la medida
f1 = la frecuencia de la clase que contiene la medida solicitada.
Fa-1 = frecuencia acumulada anterior a la que contiene la medida solicitada.
Ic = intervalo de clase.
Otra manera de verlo es partir de que todas las medidas no son sino casos particulares del percentil, ya que el primer cuartil es el 25% percentil y el tercer cuartil 75% percentil.
Ahora continuaremos con los datos no agrupados. Para el cuartil 1 (Q1) y cuartil 3 (Q3) hallaremos su posición mediante los siguientes pasos:
(N+1)/4 y 3(N+1)/4 pueden resultar números decimales. Por ejemplo, si el conjunto de datos es de 20 elementos, N=20, tendremos que el sujeto del primer cuartil es el (N+1)/4=(20+1)/4=21/4=5,25. ¿Qué hacemos en el caso de que nos de un número decimal?
Diferenciaremos dos casos:
Sin parte decimal: elegimos ese mismo sujeto. Por ejemplo, si el conjunto tiene 19 elementos, (N+1)/4=(19+1)/4=20/4=5, por lo que el primer cuartil será Q1=X5.Con parte decimal: supongamos que el elemento es un número con parte decimal entre el sujeto i y el i+1. Sea un número de la forma i,d donde i es la parte entera y d la decimal. El cuartil será:
Podemos ver un ejemplo práctico en el siguiente enunciado.
El cálculo del segundo cuartil (Q2) depende de si el número de sujetos N es par o impar. Al ser la mediana, se utiliza el procedimiento de calculo de la mediana.
Características de los cuartiles
El cuartil 1 (Q1) es el percentil 25 (P25).
El cuartil 2 (Q2) es la mediana y el percentil 50 (P50).
El cuartil 3 (Q3) es el percentil 75 (P75).
PERCENTILES
El percentil es una medida de pocision no centrall. Los percentiles Pi son los 99 puntos que dividen una serie de datos ordenada en 100 partes iguales, es decir, que contienen el mismo número de elementos cada una.
Sea (X1, X2,…,XN) una muestra de N elementos. El percentil Pi se calcula mediante la fórmula siguiente:
Donde Pi es la posición del percentil buscado en la serie ordenada de datos.
(N+1)·i/100 pueden resultar números decimales. Por ejemplo, si el conjunto de datos es de 200 elementos, N=200, tendremos que el sujeto del percentil 50 será es el (N+1)·i/100=201·50/100=100,5. ¿Qué hacemos en el caso de que nos de un número decimal?
Diferenciaremos dos casos:
Sin parte decimal: elegimos ese mismo sujeto. Por ejemplo, si el conjunto tiene 199 elementos, (N+1)·i/100=200·50/100=100, por lo que el percentil 50 será P50=X100.Con parte decimal: supongamos que el elemento es un número con parte decimal entre el sujeto t y el t+1. Sea un número de la forma t,d donde t es la parte entera y d la decimal. El percentil será:
Los percentiles están pensados para conjuntos de elementos de más de cien elementos.
Una aplicación muy conocida de los percentiles son las tablas de crecimiento de los niños, en las que se ubica el peso y la talla de un determinado niño dentro de su grupo de edad.
Características de los percentiles
El percentil 25 (P25) es el cuartil 1 (Q1).El percentil 50 (P50) es la mediana y el cuartil 2 (Q2).El percentil 75 (P75) es el cuartil 3 (Q3).
Ejercicio
"La cantidad de lluvia en centímetros por día registrada en el año 2004 en una región desértica del norte del país en los días que llovió se muestra en la siguiente tabla:"
a)Calcular los cuartiles Q(1),Q(2) y Q(3)
Q(75)= 60(75)+75/100= 45.75
Qp-1= 1.29 Qp+1=1.33 *SIENDO 60 EL NUMERO DE DATOS
x(75)=1.29+(1.33-1.29)(0.75)
=1.32 cm
Q(50)=60(50)+50/100= 30.5
Q p-1=0.69 Q+1= 0.72
x(50)=0.69+(o.72-0.69)(0.50)
=0.70 cm
Q(25)=60(25)+25/100= 15.25
Qp-1=0.41 Qp+1= 0.41
x(25)=0.41+(0.41-0.41)(0.25)
=0.41 cm
b) Explicar el significado de cada uno de los cuartiles
°El 75% de los días llovió 1,32 cm o menos
°El 50% de los días llovió 0.72 cm o menos
°El 25% de los días llovió 0.41 cm o menos
c) Construye el gráfico de caja y bigotes
¿Como construir un gráfico de "caja y bigotes"?
Un diagrama de cajas y bigotes es una manera conveniente de mostrar visualmente grupos de datos numéricos a través de sus cuartiles.
Las líneas que se extienden paralelas a las cajas se conocen como «bigotes», y se usan para indicar variabilidad fuera de los cuartiles superior e inferior. Los valores atípicos se representan a veces como puntos individuales que están en línea con los bigotes. Los diagramas de cajas y bigotes se pueden dibujar vertical u horizontalmente.
Normalmente utilizado en estadísticas descriptivas, los gráficos de cajas y bigotes son una excelente forma de examinar rápidamente uno o más conjuntos de datos gráficamente. Aunque parezcan primitivos en comparación con un Histograma o un Gráfico de densidad, tienen la ventaja de ocupar menos espacio, lo cual es útil cuando se comparan distribuciones entre muchos grupos o conjuntos de datos.
Aquí están los tipos de observaciones que uno puede hacer al ver un diagrama de cajas y bigotes:
°Cuáles son los valores clave, tales como: el promedio, el percentil 25 medio, etc.
°Si hay valores atípicos y cuáles son sus valores.
°Si los datos son simétricos.
°Cuán estrechamente se agrupan los datos.
°Si los datos están sesgados y si es así, en qué dirección.
°Dos de las variaciones más comúnmente utilizadas de los diagramas de cajas y bigotes son: los diagramas de caja de anchura variable y los diagramas de caja con muescas.
Esta es una breve introducción a los temas de medidas de posición con un ejemplo que vi en mi curso de probabilidad y estadística, espero que les sirva de apoyo y les guste.
Cualquier duda, aclaracion y comentario con gusto los atiendo personalmente en mi correo : irisarguelles162@gmail.com
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